Alevel数学重要一环，A2阶段的重中之重——Differentiation！

环球教育 2021-06-04

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　　Alevel数学重要一环，A2阶段的重中之重——Differentiation！Differentiation是在Alevel体系中的重要一环，在AS阶段可以占比15%左右的分数，在A2阶段更是重中之重，可以与多种题型联动出题，比如differential equation与binomial expansion，以及长除法进行联动出题，综合占比高达25%。

　　因此同学们有必要认真学习本章节，打好基础以应对将来A2知识的学习，相反如果AS的微积分基础没有打好，在A2阶段会非常的困难，整个微积分知识体系都是有连接性的。接下来我会重点分析每个知识点，以及对应的题型。

　　Chain rule

　　第一个重点是使用chain rule求复合函数的微分，这个内容比较少单独出题，一般融合在其他题型中比如下面的求切线方程，法线方程，以及求stationary point等题目中。

　　此题型如果不是单独出题，可以不使用chain rule，直接外函数微分乘以内函数微分求解，这样做的更快。

　　此题型有两点要注意：

　　1.复合函数微分要注意括号内的正负号问题

　　2.如果复合函数有根号和分数，需要先整理成(ax+b)^n的形式

　　Tangents and normals

　　这个部分属于重点题型，求曲线的切线以及法线方程，注意这个部分都是求直线方程，直线方程要设y=ax+b，需要两个条件，斜率和直线上的一个点。

　　其中切线方程的斜率需要用曲线的微分，然后带入所需点求得，然后再把所需点带入直线方程即可求出切线方程。

　　求法线方程会更复杂一点，需知切线和法线互为垂直关系，因此使用两斜率乘积为-1，求得法线的斜率。此外这个题型会用到之前的使用chain rule求复合函数方程。

　　此题型有三点要注意：

　　进阶题型1，求直线方程与坐标轴所成三角形的面积，需要求直线与坐标轴的交点。

　　进阶题型2，求直线与坐标轴交点的中点，或者求直线的垂直平分线。

　　进阶题型3，已知切线/法线方程，反求曲线方程的未知系数。

　　Second derivatives

　　这个部分也是重点题型，考到的概率极高，针对曲线函数的微分方程，再求一遍微分，注意写法d2y/dx2或者写成f“(x)都可以。

　　注意二阶导数表示函数凹凸性，因此有最大最小值问题：

　　二阶导数大于0的时候，函数为凹型，因此有极小值

　　二阶导数小于0的时候，函数为凸型，因此有极大值

但是需要注意先保证一阶导数为0，才能使用二阶导数导数求stationary point。

　　此题型注意：

　　1.先使用一阶导数为0，再用二阶导数找最大值和最小值。

　　2.进阶题型，应用题比如圆内接圆柱，圆锥内接圆柱，这个题型是难点，通常需要先求体积/面积与一个变量（半径，长宽高）的关系式，然后把此关系式求一阶导数和二阶导数来找出体积/面积的极值。

　　因此球型体积公式4r²球型表面积公式4/3（πr³）需要注意，另外圆柱的表面积体积公式，扇形面积公式，弧长公式，圆锥的体积公式都需要记住。

　　Increasing and decreasing functions

　　这个部分比较简单，曲线函数求一阶导数，如果大于0，则为递增函数，如果小于0，则为递减函数。判断函数的增减型是不需要进行二阶求导的，需要注意。

　　Ratesof change

　　这个部分会引入第三个变量t，一般题目会出现untis per second等字眼，此时需要先列出dy/dt，或者dx/dt。然后把原函数微分，然后列出chain rule，即可求出所需的x变化率或者y的变化率。

　　此题型需要注意：

　　如果题目条件为y的变化率，求x的变化率，那函数的微分式dy/dx需要取个倒数然后用（dx/dy)×(dy/dt)即可。

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